کاربرد عملی تجزیه و تحلیل فراکتال: مشکلات و راه حل ها

Guido Gonzato ، Francesco Mulargia ، Warner Marzocchi ، کاربرد عملی تجزیه و تحلیل فراکتال: مشکلات و راه حل ها ، مجله ژئوفیزیکی بین المللی ، جلد 132 ، شماره 2 ، صفحات 275-282 ، https://doi. org/10. 1046/J. 1365-246x. 1998. 00461. x

خلاصه

تجزیه و تحلیل فراکتال اکنون در بسیاری از رشته ها متداول است ، اما کاربرد واقعی آن اغلب تحت تأثیر خطاهای روش شناختی است که می تواند نتایج را مغرضانه کند. این مشکلات معمولاً با ارزیابی ابعاد فراکتال D و دامنه تغییر مقیاس r همراه است.

ما نشان می دهیم که با استفاده از رایج ترین الگوریتم ها برای تجزیه و تحلیل فراکتال (خط کش و شمارش جعبه واکر) ، همیشه می توان یک بعد فراکتال را بدست آورد ، اما این مقدار ممکن است از نظر جسمی بی معنی باشد. مشکل اصلی تعداد نقاط داده است که هنگام اجرای الگوریتم ها با دست کافی نیست. علاوه بر این ، کاربرد نادرست تجزیه و تحلیل رگرسیون همچنین می تواند به نتایج نادرست منجر شود.

برای اصلاح نکته قبلی ، ما یک برنامه عددی مناسب را برای شمارش جعبه اجرا کرده ایم. پس از بحث در مورد دلیل منطقی رگرسیون خطی و کاربرد آن در تجزیه و تحلیل فراکتال ، ما یک روش ارائه می دهیم که می تواند برای به دست آوردن نتایج معنی دار دنبال شود.

1. مقدمه

یکی از بارزترین خصوصیات زمین شناسی ، خود شفقت است که توسط بسیاری از اشیاء طبیعی نشان داده شده است ، یعنی عدم تغییر مقیاس آنها. به عنوان مثال ، در تصویری از یک طغیان زمین شناسی نمی توان مقیاس طول را تشخیص داد ، مگر اینکه یک شیء مرجع در این زمینه گنجانده شود. یکی دیگر از ویژگی های متداول ، حیرت و بی نظمی تقریباً هر شیء طبیعی است. دشواری که همواره طبیعت گرایان را به خود جلب کرده است از عدم امکان هندسه کلاسیک برای مقابله با شکل های واقعی ، طبقه بندی اشیاء - که از نظر مهم ، اصلی ترین علوم طبیعت گرایانه است - بسیار دشوار است. توانایی هندسه فراکتال برای عدم تغییر مقیاس و حداقل در اصل ، برای پر کردن این شکاف ، موفقیت بزرگ آن را توجیه می کند.

مفهوم بعد فراکتال ، که بر روی آن هندسه فراکتال به آن وابسته است ، ناشی از ملاحظات نظری ساده بر اساس خود شنی بودن هر شی است. بگذارید ، به عنوان یک نمونه عملی از یک شیء خودی ، یک بخش را در نظر بگیریم (شکل 1). با انتخاب یک عدد صحیح B ، همیشه می توان بخش را با قطعات مساوی n = b پوشش داد. هر قسمت را می توان از بخش اصلی از طریق شباهت بدست آورد: r (n) = 1 /b = 1 /n. بعد مستطیل در نظر گرفته می شود ، که می تواند توسط قسمت های برابر n = b 2 پوشانده شود. در اینجا نسبت شباهت r (n) = 1 /b = 1 /n 1/2 است. همان روشی که برای یک موازی اعمال می شود ، نسبت شباهت R (N) = 1 /N 1/3 را به دست می آورد. می توان این نتیجه را برای هر ابعاد d تعمیم داد ، جایی که نسبت R (n) = 1 / n 1 / d است.

شفابخش بودن در (الف) یک بخش خطی ، (ب) یک مربع و (ج) منحنی Koch. مقدار بعد شی از استفاده از نسبت شباهت (به متن مراجعه کنید) ناشی می شود ، که مقادیر عدد صحیح را برای ارقام اقلیدسی (a) و (b) و یک مقدار غیر پیرزن برای فراکتال (c) به دست می آورد.

هندسه فراکتال با یک مقدار غیر انتگرال عمومی D سروکار دارد و با هدف توصیف هر شیء خودی ، چه متصل (به عنوان مثال منحنی Koch) یا خیر (به عنوان مثال گرد و غبار کانتور) (Mandelbrot 1983). بیشماری از خطوط فراکتالی مصنوعی که اختراع شده اند ، دو ویژگی اصلی اشیاء فراکتال را نشان می دهد: شفابتی بودن و عدم تمایز.

برای خطوط فراکتال هندسی یک فرمول مفید برای یافتن D مستقیماً از پارامترهای رویه ساخت منحنی موجود است. با در نظر گرفتن سطح ساخت l، اجازه دهید N_لتعداد «قطعات» منحنی و L باشد_لطول آنهایکی آن را پیدا می کند

بنابراین، با توجه به منحنی کخ که از قطعه اصلی از طریق نسبت شباهت 1/3 به دست می آید، یک N داریم._ل/ ن_{l + 1}=1/4;L_{l + 1}/ ال_ل= 1/3، از آنجا D = 1. 2618 (شکل 1c).

2 اندازه گیری ابعاد فراکتالی یک جسم

در حالی که D برای منحنی‌های فراکتال مصنوعی دقیقاً با استفاده از فرمول‌های تحلیلی محاسبه می‌شود، برای اشیاء واقعی D باید با استفاده از الگوریتم‌های خاصی که برخی از آنها در پاراگراف زیر توضیح داده شده‌اند، تخمین زده شود. در ریشه استفاده از آنها - و در نتیجه، در ریشه تجزیه و تحلیل فراکتال در موقعیت های دنیای واقعی - یک تکنیک ریاضی شناخته شده اما اغلب نادیده گرفته شده وجود دارد: رگرسیون خطی.

هنگامی که فرد به دنبال رفتار فراکتال در یک مجموعه داده می‌گردد، باید با این مشکل مواجه شود که دامنه تغییرناپذیری مقیاس چقدر باید گسترده باشد. این معادل قرار دادن یک خط مستقیم در یک محدوده است. همانطور که در بخش 3 نشان داده خواهد شد، با توجه به مجموعه‌ای از مشاهدات، چنین عملیاتی تقریباً همیشه امکان‌پذیر است، اما هیچ تضمینی وجود ندارد که نتایج هر شباهت معناداری را نشان دهد. به طور کلی، روش رگرسیون خطی در تعیین ماهیت فراکتال یک مورفولوژی معین بسیار مهم است و از این رو باید با جزئیات زیاد مورد مطالعه قرار گیرد.

2 2. 1 الگوریتم ها

اکنون دو مورد از رایج‌ترین الگوریتم‌ها را برای تحلیل فراکتال بررسی می‌کنیم: روش خط کش یا تقسیم‌کننده‌های واکر (ماندلبروت 1983)، و شمارش جعبه‌ها (مانند گراسبرگر 1993) (از این پس WR و BC.)

2 2. 1. 1 الگوریتم خط کش واکر

WR الگوریتمی است که ریچاردسون (1961) در کار پیشگامانه خود در مورد طول خطوط مرزی به عنوان تابعی از طول خط کش استفاده کرد. برای اینکه این روش نتایج خوبی داشته باشد، دو شرط باید رعایت شود: خط مورد اندازه گیری باید متصل باشد و دامنه طول باید تا حد امکان گسترده باشد. بنابراین خط پیوسته است اما نیازی به تمایز ندارد.

برای شروع با (شکل 2)، یکی از یک نقشه با برد وسیع، مثلاً 1:100 000 استفاده می کند. سپس یک تقسیم کننده نقشه روی مثلاً 10 سانتی متر تنظیم می شود، در یک انتهای خط ثابت می شود، سپس n می چرخد.₁بارها تا رسیدن به انتهای دیگر؛باقیمانده، در صورت وجود، نادیده گرفته می شود.(این یک علت ذاتی خطا در الگوریتم است.) اولین مقدار L با n داده می شود.₁× 10 کیلومتر. سپس تقسیم کننده به طول 5 سانتی متر کاهش می یابد و n می چرخد₂بار: اکنون L = n₂× 5 کیلومتراین مرحله M بار تکرار می شود، با استفاده از نقشه های کوتاه تر و نقشه های دقیق تر (1:50 000، 1:10 000، ...).

روش خط کش واکر. برای محاسبه طول خط، چندین پاره مستقیم (شعاع) یک کمان دایره ای با یک جفت تقسیم کننده نقشه ترسیم می شود. هرچه شعاع کوتاهتر باشد، اندازه گیری دقیق تر است.

در این مرحله، M زوج های L (η_من) و η_من. این مقادیر با قانون قدرت مرتبط هستند

که نشان می دهد چگونه L با کاهش η افزایش می یابد، بازنویسی رابطه (2) با اعمال یک تبدیل لگاریتمی در هر دو طرف راحت است:

حال باید ضرایب خط رگرسیون بین متغیر وابسته log L (η_من)) و log متغیر مستقل (η_من) که i =1، …، M، و M تعداد η در نظر گرفته شده 1 است. بعد فراکتال D با شیب خط 1 داده می شود.

یکی از مشکلات روش WR این است که باقیمانده محدودی دارد. این به این دلیل است که برای هر خط کش با طول L، بخشی از جسم در آخرین مرحله بدون پوشش باقی می ماند. هیچ راهی برای حل این ناراحتی وجود ندارد، که می تواند باعث خطاهای قابل توجهی در برآورد D شود (Aviles, Scholz & Boatwright 1987).

روش WR را فقط می توان برای اندازه گیری D اشیاء خود مشابه متصل به کار برد. این محدودیت، همراه با خطای باقیمانده و دشواری اجرای عینی کامپیوتر، این الگوریتم را نسبت به روش BC که قدرتمندتر و کاربرد عمومی‌تری دارد، پایین‌تر می‌سازد. بنابراین ما تجزیه و تحلیل بعدی خود را به BC به عنوان الگوریتم کلی برای تجزیه و تحلیل فراکتال محدود می کنیم.

2 2. 1. الگوریتم شمارش جعبه

این روش مبتنی بر مفهوم «پوشش» است که در بالا مورد بحث قرار گرفت و تعاریف مختلفی از «بُعد» را درک می‌کند (نگاه کنید به زیر و بحث در Cowie, Vanneste & Sornette 1993). از WR عمومی تر است، زیرا می توان آن را در هر دو فرم متصل و غیر متصل استفاده کرد. یکی معادله می گیرد.(2) و اجازه می دهیم L (η)/η= N (η)، که در آن N (η) تعداد اجسامی است که بعد خطی آنها از η بیشتر است، تا به دست آید.

iاز اهمیت بالایی برخوردار است. فقط باید مقادیر η را انتخاب کرد که تصور می‌شود به محدوده تغییرناپذیری مقیاس تعلق دارند. باز هم، چرخش معادله راحت است.(4) به

برای محاسبه D، جسم را با شبکه ای از مربع (یا در مورد سطوح سه بعدی، از مکعب ها) در ابتدا از ضلع η می پوشانیم.₁، سپس عدد N را می شمارد (η₁) مربع هایی که شامل بخشی از شیء هستند. سپس اندازه گیری با استفاده از سمت η انجام می شود₂، به دست آوردن N (η₂) مربع. این مرحله با استفاده از مربع هایی با ضلع های کوتاه تر S بار تکرار می شود. در نهایت، خط رگرسیون بین log متغیر مستقل محاسبه می شود (η_من) و log متغیر وابسته (N (η_من))، که در آن i =1، …، S. D با قدر مطلق شیب خط داده می شود.

الگوریتم BC همچنین ریشه تمام تعاریف اصلی بعد فراکتال است. در واقع، ابعاد درجه بالا، مانند ظرفیت، اطلاعات و ابعاد همبستگی (ماندلبروت 1983؛ گراسبرگر و پروکاچیا 1983)، همه را می توان از طریق الگوریتم BC بر اساس فرمول لحظه ها محاسبه کرد:

جایی که P_jمتناسب با مجموع اشیاء در جعبه ضلع η، رابطه M است_q(η)≈η ( q-1) Dq امکان محاسبه هر یک از ابعاد مرتبه بالا را به ترتیب با مقادیر q : 0، 1، 2 می دهد.

همچنین، در این مورد، خود تشابهی را می توان به صورت تجربی از خوبی برازش خط (5) با داده ها استنباط کرد. همانطور که در بالا مشاهده شد، برای به دست آوردن یک تخمین واقعی و عملی مفید از D، باید از محدوده ضلع مربع تا حد امکان استفاده کرد. شرط دیگر این است که برای هر مرحله، تعداد زیادی جعبه باید شامل بخشی از شی باشد: به عبارت دیگر، شی مورد اندازه گیری باید با کل نقشه مطابقت داشته باشد، نه قسمت کوچکی از آن، در غیر این صورت نتیجه با جانبداری خواهد بود. طرح کلی شی، یک مشکل رایج با قرار گرفتن در معرض زمین شناسی ناقص.

2 2. 2 رگرسیون خطی: کلید بعد فراکتال

تمام روشهای اندازه گیری عدم تغییر مقیاس در یک محدوده و پارامتر مشخصه آن ، ابعاد فراکتال D ، به رگرسیون خطی متکی هستند. این تکنیک سعی دارد تأیید کند که آیا یک رابطه خطی در داده ها وجود دارد ، به عبارت دیگر ، آیا می توان از یک مدل خطی برای توصیف داده ها استفاده کرد. ما دیده ایم که معادلات حاکم بر الگوریتم های اصلی برای تجزیه و تحلیل فراکتال قوانین قدرت هستند که می توانند پس از تحولات لگاریتمی به قوانین خطی تبدیل شوند.

به نظر می رسد جهل گسترده ای از فرضیات اساسی در تجزیه و تحلیل رگرسیون وجود دارد. یک مشکل شایع ، تفسیر r 2 به طور غیرقانونی به عنوان شاخصی از مناسب بودن مدل خطی است. این درست نیست (ر. ک. Draper & Smith 1981). ابزار اصلی در مطالعه کفایت رگرسیون خطی ، تجزیه و تحلیل باقیمانده است. به عنوان مثال ، محاسبه r 2 (به پیوست A1 مراجعه کنید) برای parabola y = x 2 در فاصله 0 ≤ x ≤ 1 ، یک مقدار r 2 را به اندازه 0. 936 بدست می آورد ، اما از باقیمانده ها آشکار است که مدل خطیناکافی است (به تصویر زیر مراجعه کنید).

آنچه که یک مدل کافی را نشان می دهد ، در واقع ، نحوه پراکندگی باقیمانده در خط رگرسیون است. اولین شرط این است که واریانس (پراکندگی باقیمانده های اطراف خط) در کل محدوده x ثابت باشد_منوادخوشبختانه ، این الزام یک مورد سختگیرانه نیست و انحرافات متوسط بعید است که مشکلات واقعی را ایجاد کند.

شرط دوم ، و این مورد بسیار حیاتی است ، این است که نباید در هر دو طرف سطح صفر "توده" باقیمانده وجود داشته باشد. یک روش آسان برای بررسی حضور توده ها از طریق تست Runs است (به پیوست A2 مراجعه کنید). اجرا به عنوان توالی های بدون وقفه از همان حالت تعریف می شود. parabola y = x 2 به طور مناسب توسط یک خط در 10 ≤ x ≤ 1 نصب نشده است زیرا علائم باقیمانده ها هستند (شکل 3 را ببینید): 10 +، 29 - و 11 +، یعنی تعداد اجراها سه استواداحتمال اینکه چنین تعداد کم اجرا به طور اتفاقی رخ دهد کمتر از 0. 01 است و بنابراین مدل خطی باید با وجود ضریب رگرسیون بالا آن رد شود. داشتن تعداد بسیار کمی از دویدن رایج ترین وضعیت در تجزیه و تحلیل فراکتال است.

parabolay = x 2 در برابر خط رگرسیون خطی از فرم y = b ترسیم شده است₁x + b₀، با ب₁= 0. 98 و B₀= - 0. 15. سه خوشه سیستماتیک از باقیمانده های بالاتر از [مناطق (a) و (c)] و [منطقه (b)] در زیر خط وجود دارد ، نشان می دهد که مدل خطی با وجود ضریب رگرسیون بالا ، پارابولا را ضعیف می کند (R2 = 0. 936 ، ببینیدمتن اصلی).

ما می خواهیم تأکید کنیم که پیدا کردن یک دامنه در یک مجموعه داده که در آن خط مستقیم می تواند مناسب باشد ، همیشه امکان پذیر است. در حقیقت ، استفاده از الگوریتم ها لزوماً حداقل دو نقطه داده را بازده می دهد ، که از طریق آن همیشه می توان یک خط مستقیم را در خود جای داد. این در شکل 4 نشان داده شده است ، که نشان دهنده نتایج تجزیه و تحلیل شمارش جعبه انجام شده بر روی نقشه تکتونیکی (Formazione Marnoso Arenacea ، آپنین های مرکزی ، ایتالیا) است. نقشه تکتونیکی در شکل 4a نشان داده شده است.

(بالا) نقشه تکتونیکی که بخشی از آپنین های مرکزی را نشان می دهد (Formazione Marnoso Arenacea ، ایتالیا). نقشه طغیان گسل ها را به عنوان یک سری خطوط روی سطح نشان می دهد.(میانه) تجزیه و تحلیل فراکتال بر روی داده های نقشه نشان داده شده در (A) انجام شده است. توجه داشته باشید که در این حالت ما فقط سه خوشه سیستماتیک از باقیمانده ها را به ترتیب (الف) در زیر ، (ب) در بالا و (ج) زیر خط بهترین به دست می آوریم.(پایین) همان داده های ترسیم شده در برابر دو خط رگرسیون متناسب با قسمت های مختلف محدوده داده.

با در نظر گرفتن تمام نکات و متناسب با یک خط رگرسیون ساده ، ما D = 1. 249 داریم (شکل 4B). متناسب با دو خط رگرسیون جداگانه ، در محدوده 0 ≤ x ≤ 2. 5 و 3 ≤ x ≤ 6 ، که به طور جداگانه خطی تر به نظر می رسند ، d = 0. 974 و d = 1. 468 را بازده می دهد (شکل 4C). سرانجام ، با استفاده از تنها بازده اول و آخرین نقطه d = 1. 199. کدام D مناسب است؟هیچ کدام ، و علاوه بر این ، ما حتی نمی توانیم صحت نتیجه را تعیین کنیم زیرا در همه مواردی که از امتیازات بسیار کمی استفاده کرده ایم ، که باعث می شود آزمایش بی فایده باشد. در حقیقت ، هیچ آزمایشی با داده های کمی قدرتمند نیست: با کمتر از 15 نقطه داده ، آزمون اجرا نمی تواند نتایج معنی داری به همراه داشته باشد ، حتی در این مورد که دامنه قابل توجهی از مقیاس ها در داده ها وجود دارد (شش مرتبه از نظر طول طبق طولبه شکل 4b.)

فقدان نقاط داده کافی ، مشکل جدی واقعی در تجزیه و تحلیل فراکتال است. مشکل اصلی این است که الگوریتم ها اغلب با دست اجرا می شوند ، که بسیار خسته کننده و وقت گیر است. بنابراین ، بسیار بعید است که فرد تمام مراحل لازم برای به دست آوردن تعداد کافی از نقاط داده را انجام دهد. استفاده از برنامه های رایانه ای تنها گزینه جایگزین امکان پذیر است و ما بسته ای را تهیه کرده ایم که مستقیماً با تصاویر دیجیتالی سروکار دارد ، یک صفحه نمایش مجازی (اندازه 2040 2040 ، قابل افزایش) را با وضوح بالا اجرا می کند و شامل قابلیت بزرگنمایی بازگشتی است. این ویژگی ها به ما امکان می دهد تا با استفاده از تعداد کافی از نقاط داده ، تجزیه و تحلیل فراکتال کافی را انجام دهیم.(این روش در پیوست B. به تفصیل شرح داده شده است)

3 محاسبه D در عمل

به طور خلاصه ، برای انجام یک تجزیه و تحلیل فراکتال مناسب ، باید نکات کافی داشته باشد تا رگرسیون خطی معنی دار داشته باشد ، و نقاط باید یک بازه به اندازه کافی گسترده داشته باشند تا از نظر جسمی معنی دار باشد. به عنوان یک قاعده شست ، (1) حدود 20 امتیاز برای اثبات مسئله رابطه خطی لازم است ، و (2) حداقل دو یا سه سفارش از بزرگی لازم است تا خود شناع بودن از نظر جسمی ارزش آن را داشته باشد. معنای پیدا کردن خود شنی بودن بیش از نیمی از مرتبه بزرگی چیست؟زیاد نیستهیچ قاعده کلی وجود ندارد ، اما عقل سلیم نشان می دهد که خود شناع بودن بیش از دو تا سه سفارش از بزرگی نشانگر پدیده های مهم جسمی نیست و بنابراین باید نادیده گرفته شود.

اولین شرط تأیید است که یک خط واقعی از طریق داده ها اجرا می شود. مشکل در اینجا با این واقعیت تشدید می شود که هر دو روش WR و BC دارای نقاط شدید متناسب با مرحله اول و آخر (بزرگترین و کمترین تقسیم کننده تقسیم یا جعبه) هستند. بنابراین ، با منحنی که به طور کلی این دو نقطه را به هم متصل می کند ، همیشه بخشی وجود خواهد داشت که "تقریباً خطی به نظر می رسد. فرد باید محتاط باشد و اطمینان حاصل کند که داده ها واقعاً خطی بودن را نشان می دهند ، یعنی خودخواهی.

اگر هر یک از شرایطی که در بالا مورد بحث قرار گرفته است ، وجود ندارد ، مقدار D که می توان با هر آزمایشی پشتیبانی کرد. این بدان معنی است که تجزیه و تحلیل فراکتال انجام شده بر روی داده های معدودی از یک نقص روش شناختی اساسی رنج می برد: ممکن است عدم تغییر مقیاس وجود داشته باشد ، اما داده های بسیار کمی باعث می شود که تبعیض آن از موردی که موجود نیست ، غیرممکن شود. بنابراین ، استفاده از داده های بیش از حد یک تله دو برابری است: محاسبات آسان تر است و ظاهراً نتایج مثبت تضمین می شود. متأسفانه ، آنچه واقعاً تضمین شده است ، ثروت نتایج نادرست و/یا بی معنی است. برخی از نمونه های این ، استخراج شده از ادبیات ، در بخش بعدی گزارش شده است.

3 3. 1 به دست آوردن نتایج بد

برای اینکه نشان دهیم چگونه تجزیه و تحلیل فراکتال اغلب انجام می شود ، بر خلاف نحوه انجام آن ، ما باید یک نمونه از WR و یکی از قبل از میلاد را ارائه دهیم. هر دو تجزیه و تحلیل با نمونه های مشابه موجود در ادبیات مقایسه می شوند ، نشان می دهد که چگونه می توان نتایج نادرست را به راحتی بدست آورد.

بگذارید داده های نشان داده شده در جدول 1 را در نظر بگیریم ، که انجام WR بر روی یک خط طول 59 سانتی متر به دست آمد ، که برای آن D بدیهی است. از طول خط حاکم زیر استفاده شده است: 20 ، 10 ، 5 و 2 سانتی متر. از این داده ها خط رگرسیون y =- 0. 058 x 0. 1864 x + 4. 2155 ، r 2 = 0. 837 را بدست می آورد. از کجا d = 1. 1864. نیازی به گفتن نیست ، این بعد "فراکتال" بسیار اشتباه است. ما در استفاده از نقاط داده بسیار کمی اشتباه کرده ایم و به همین دلیل است که ارزش نادرست D را بدست آورده ایم. علاوه بر این ، ما طیف وسیعی از "تغییر مقیاس" را انتخاب کرده ایم (تقریباً یک مرتبه از بزرگی).

داده های به دست آمده با انجام الگوریتم خط کش واکر در یک بخش خطی ، طول کل 59 سانتی متر. η_مننشان دهنده گسترش تقسیم کننده ها و L (η_من) طول خط مربوطه. طول حاکم زیر استفاده شد: 20 ، 10 ، 5 و 2 سانتی متر.

این نوع تجزیه و تحلیل بی دقتی در ادبیات بسیار متداول است و نمونه های بسیاری را می توان صرف نظر از شهرت نویسنده استناد کرد. احتمالاً مشهورترین آنها ماندلبروت (1967) است که در کار مشهور خود مواردی از WR را با تنها پنج امتیاز اجرا کرد. مثالهای دیگر را می توان در کتاب ویرایش شده توسط Scholz & Mandelbrot (1989) یافت: مقاله توسط Norton & Sorenson (1989) یک مورد در نکته است. نویسندگان از داده های کمی در تجزیه و تحلیل خود استفاده می کنند و عدم کفایت مدل خطی در نمودارها از نظر بصری مشخص است. در همان کتاب ، مقاله توسط Snow (1989) از نوع دوم خطا رنج می برد: او از تعداد کافی از نقاط داده استفاده می کند ، اما محدوده عدم تغییر مقیاس بسیار باریک و خودسرانه ثابت است.

به عنوان مثال دوم ، ما اکنون منحنی مشهور كوچ را در نظر می گیریم كه D تئوری آن 1. 2618 پوند است. ما باید از الگوریتم BC با استفاده از مربع 256 × 256 میلی متر حاوی منحنی و طرفین جعبه 128 ، 64 ، 32 ، 16 و 8 میلی متر استفاده کنیم. ما داده های نشان داده شده در جدول 2 را بدست می آوریم. یک بار دیگر ، نتایج نادرست به دست می آوریم: D = 1. 0463 ± 0. 019 ، R 2 = 0. 999. توجه داشته باشید که اگر اعتبار تخمین خود را از D از R 2 ارزیابی کنیم ، همانطور که بیشتر تحلیلگران انجام می دهند ، ما به طور مثبت اما نادرست آن را می پذیریم.

داده های به دست آمده با انجام الگوریتم شمارش کادر بر روی منحنی Koch با استفاده از یک 256 mmsquare 256 × 256 mmsquare حاوی منحنی و طرفین جعبه 128 ، 64 ، 32 ، 16 و 8 میلی متر. η_مننمایانگر سمت جعبه و n (η_من) تعداد جعبه ها.

مانند گذشته ، ما از داده های بسیار کمی استفاده کرده ایم. ما در ادبیات تجزیه و تحلیل های قبل از میلاد نمونه های بسیاری پیدا کرده ایم که توسط تعداد کافی از داده ها بی اعتبار است. در Scholz & Mandelbrot (1989) ، استفاده از BC توسط Hirata (1989) فقط در شش طرف جعبه بنا شده است.

به طور کلی ، ادبیات با تجزیه و تحلیل های تحت تأثیر این خطاهای روش شناختی ، صرف نظر از الگوریتم استفاده شده برای به دست آوردن داده ها فراوان است.

3 3. 2 به دست آوردن نتایج خوب

تمام مثالهای فوق حاکی از آن است که مشکلات اصلی ناشی از کمبود داده ، یا در منبع اصلی (به عنوان مثال کاتالوگ زلزله در یک منطقه) یا به دلیل الگوریتم به کار رفته (به عنوان مثال کاربرد دستی WR یا قبل از میلاد) است. به نظر ما ، اگر کسی نتواند امتیاز کافی برای تجزیه و تحلیل قابل اعتماد کسب کند ، چنین تحلیلی ارزش انجام آن را ندارد.

مشروط بر اینکه داده های تجربی ذاتاً فاقد سر و صدای قابل توجه نیستند ، با رها کردن هر رویکرد دستی به الگوریتم و استفاده از رایانه می توان مشکل را حل کرد. ما مجموعه ای از برنامه ها را اجرا کرده ایم که الگوریتم BC را اجرا می کند (به پیوست B مراجعه کنید) و آزمون های اهمیت همراه. اکنون تجزیه و تحلیل را در منحنی Koch تکرار می کنیم و تمام اقدامات احتیاطی مورد بحث را به کار می گیریم.

ما نقشه ای از منحنی Koch ایجاد می کنیم که کل فاصله را پوشش می دهد. این برنامه با یک جعبه جعبه 2048 پیکسل شروع می شود که در هر مرحله کاهش می یابد. ما داده های نشان داده شده در جدول 3 را بدست می آوریم ، و سپس پارامترهای خط رگرسیون و باقیمانده ها را محاسبه می کنیم. استفاده از Eq.(A11) ما احتمال P را محاسبه می کنیم_حرفاز به دست آوردن توالی ما از اجرا ، به دست آوردن 0. 425.

داده های به دست آمده در انجام الگوریتم شمارش کادر بر روی منحنی Koch. رایانه از یک جعبه جعبه 2048 پیکسل استفاده کرد. سمت جعبه اولیه 2048 بود و با تقسیم آن در هر مرحله √ 2 کاهش یافت.

الزامات برآورده می شوند. ما به طور قابل اعتماد اندازه گیری D برابر با 0. 0112 ± 1. 2712 هستیم. از آنجا که این بیش از سه سفارش از بزرگی دارد ، ممکن است این موضوع را به عنوان یک شفابتی بودن از نظر جسمی تفسیر کنیم. سپس می توانیم با خیال راحت فرض کنیم که منحنی Koch یک فراکتال است ، که البته به خوبی شناخته شده است.

اگر بخواهیم چنین تجزیه و تحلیل فراکتالی را بر روی اشیاء واقعی انجام دهیم ، احتمالاً مشکل اصلی کمبود داده ها خواهد بود. بنابراین ما معتقدیم که تجزیه و تحلیل فراکتال فقط ارزش انجام این کار را دارد که پدیده ای که می خواهد تحقیق کند ، برای تولید داده های کافی برای تحقق معیارهای مورد بحث در بالا قابل استفاده است.

ما می خواهیم خاطرنشان کنیم که آثاری در ادبیات وجود دارد که معیارهای فوق را برآورده می کند. به عنوان مثال ، Schertzer & Lovejoy (1991) در تجزیه و تحلیل برخی از مجموعه های بزرگ از داده های هواشناسی شش سفارش از بزرگی را به کار می برد. در Turcotte (1992) نمونه های بد و خوبی از تجزیه و تحلیل فراکتال وجود دارد ، دومی مواردی هستند که داده های بیشتری در دسترس بودند. به طور خاص ، پدیده های مرتبط با تکه تکه شدن ، حداقل از لحاظ بصری ، خطی روشن در نمودارها دارند. در حقیقت نویسنده نتایج تجزیه و تحلیل رگرسیون را ارائه نمی دهد. بنابراین به نظر می رسد پدیده های مربوط به تکه تکه شدن به احتمال زیاد نتایج خوبی دارند.

4. نتیجه گیری

ما به طور انتقادی از نحوه اندازه گیری ابعاد فراکتال به طور انتقادی استفاده کرده ایم ، و می دانیم که فرآیند ذاتاً کسل کننده شمارش باعث استفاده از امتیازات بسیار کمی می شود. این به نوبه خود ، در را به نتایج نادرست و/یا بی معنی باز می کند. ما مجموعه ای از برنامه های رایانه ای را برای ارزیابی بعد فراکتال از طریق شمارش جعبه که به طور بالقوه این مشکل را حل می کند ، تهیه کرده ایم. این برنامه ها به طور مستقیم با تصاویر سروکار دارند ، یک صفحه نمایش مجازی را فقط با حافظه رایانه محدود می کنند و شامل قابلیت بزرگنمایی می شوند که برای مطالعه زیر مجموعه های کل تصویر ضروری است. بدیهی است ، مانند هر الگوریتم ، اگر داده ها ذاتاً کمبود داشته باشند ، کدهای ما بی اثر هستند.

مجموعه برنامه های ما اجرای BC و ابزارهای تحلیل رگرسیون توسط FTP ناشناس از ibogeo. df. unibo. it (137. 204. 48. 138) ، در دایرکتوری/میخانه/VSBC در دسترس است.

سپاسگزاریها

این کار با کمک های جزئی از CNR-GNV و MURST 60 ٪ انجام شد.